Teorema de Bayes: The Harvard Medical School Test

O problema apresentado aqui foi proposto
aos alunos da Escola de Medicina de Harvard (uma das melhores escolas de
medicina do mundo – possivelmente a melhor). É o chamado The Harvard Medical School Test. A maioria dos alunos deu resposta
errada, pois disseram: “a probabilidade
de a pessoa ter a doença D é 95%”.

Veja o problema. Qual
é a resposta?

Um teste diagnóstico para determinada
doença D só pode resultar em positivo
ou negativo, indicando presença ou ausência da doença.

Estima-se que a probabilidade de um falso negativo
seja 0% e a probabilidade de um falso positivo seja 5%.

A taxa de
incidência da doença é baixa. Um levantamento (survey) mostrou que, na população, ocorre um caso por mil
habitantes.

Se uma pessoa
selecionada ao acaso na população for submetida ao teste e o resultado der
positivo, qual é a probabilidade de essa pessoa ter a doença D?

Resolva o problema aplicando o teorema de Bayes.

Se
a pessoa tem a doença, o resultado do
teste é verdadeiro positivo com
probabilidade 1,000. O falso negativo
ocorre com probabilidade 0,000.

P(+│D) = 1,000

P(-│D) = 0,000

Se
a pessoa não tem a doença, o
resultado do teste pode ser falso
positivo com probabilidade 0,050 ou verdadeiro
negativo com probabilidade 0,950.

P(+│D’) = 0,050

P(-│D’) = 0,950

A taxa de incidência da doença é um caso por mil
habitantes.

P(D) = 0,001

P(D’) = 0,999

A
resposta é 0,0196 ou 1,96%.

Sensibilidade
do teste é a probabilidade de o teste dar
resultado positivo em pessoas que têm a doença (no caso é 1,000).

Especificidade é a probabilidade de o teste dar resultado negativo em pessoas que não
têm a doença (no caso é 0,950). O teste é, portanto, sensível e específico.

Entretanto, alta
sensibilidade e alta especificidade são condições necessárias, mas não suficientes
para avaliar a correção do resultado do teste.
Na avaliação do resultado do teste, é preciso considerar probabilidades
a priori de a pessoa ter a doença.

Vimos isso em
postagens anteriores, em que se avaliou a probabilidade de ser certo um
resultado positivo em quatro situações, com diferentes probabilidades a priori (estimativas diferentes da probabilidade de a pessoa ter a doença).