Antes
de apresentar o teorema de Bayes, convém lembrar a definição de probabilidade
condicional, para registrar a diferença entre
probabilidade condicional e o teorema de Bayes.
de apresentar o teorema de Bayes, convém lembrar a definição de probabilidade
condicional, para registrar a diferença entre
probabilidade condicional e o teorema de Bayes.
Definição
Probabilidade condicional de B dado A é a probabilidade de ocorrer o
evento B sob a condição de o evento A ter ocorrido. Indica-se por P(B|A), que se lê “probabilidade de B
dado A”.
evento B sob a condição de o evento A ter ocorrido. Indica-se por P(B|A), que se lê “probabilidade de B
dado A”.
É importante notar: A e B são dois eventos dependentes que ocorrem em sequência. O
evento A antecede
o evento B.
evento A antecede
o evento B.
Exemplo
Uma urna contém cinco bolas diferentes apenas quanto à cor: duas
são vermelhas, três são azuis. Retiram-se duas bolas da urna ao acaso, uma em seguida
da outra, sem recolocar na urna a primeira bola retirada.
são vermelhas, três são azuis. Retiram-se duas bolas da urna ao acaso, uma em seguida
da outra, sem recolocar na urna a primeira bola retirada.
Pergunta-se: Qual é a probabilidade de a segunda
bola ser vermelha sob a condição de a primeira
bola retirada ser a azul?
bola ser vermelha sob a condição de a primeira
bola retirada ser a azul?
O diagrama de árvore ajuda entender o que pode acontecer
quando se retiram duas bolas de uma urna, na situação descrita. Estão calculadas todas as probabilidades condicionais e assinalada em amarelo a probabilidade pedida.
TEOREMA DE BAYES
quando se retiram duas bolas de uma urna, na situação descrita. Estão calculadas todas as probabilidades condicionais e assinalada em amarelo a probabilidade pedida.
A probabilidade de a segunda bola
ser vermelha sob
a condição de a primeira bola retirada ser a azul é dada pelo teorema da multiplicação de
probabilidades, eventos dependentes:
ser vermelha sob
a condição de a primeira bola retirada ser a azul é dada pelo teorema da multiplicação de
probabilidades, eventos dependentes:
TEOREMA DE BAYES
Os
símbolos P(B ǀ A) e P(A
ǀ B) podem ter aparência
similar, mas há grande diferença no que eles representam. Por exemplo, faça A representar ter treinamento técnico e
faça B representar execução de um bom
serviço. Veja:
símbolos P(B ǀ A) e P(A
ǀ B) podem ter aparência
similar, mas há grande diferença no que eles representam. Por exemplo, faça A representar ter treinamento técnico e
faça B representar execução de um bom
serviço. Veja:
· P(B ǀ A) = probabilidade de “bom serviço” dado “ter treinamento técnico”.
· P(A ǀ B) = probabilidade de “ter treinamento técnico” dado o “bom serviço”.
Outro exemplo: faça A representar “bom
aluno no colegial” e faça B representar “aprovado no vestibular”. Veja:
aluno no colegial” e faça B representar “aprovado no vestibular”. Veja:
· P(B ǀ A) = probabilidade de ter sido “ aprovado no vestibular” dado “ter sido bom aluno”.
· P(A ǀ B) = probabilidade de “ter sido bom aluno” dadoque foi “aprovado no
vestibular”.
vestibular”.
Muitos problemas envolvem um par de probabilidades
condicionais. Vamos buscar a fórmula para obter P(A ǀ B). Para isso, veja a
2ª regra da multiplicação em postagem anterior (teorema da multiplicação de
probabilidades ou a regra do e para eventos dependentes) e lembre-se de que A e B são dois eventos
que ocorrem em sequência, A antecede B.
Temos, pela “regra do e”:
condicionais. Vamos buscar a fórmula para obter P(A ǀ B). Para isso, veja a
2ª regra da multiplicação em postagem anterior (teorema da multiplicação de
probabilidades ou a regra do e para eventos dependentes) e lembre-se de que A e B são dois eventos
que ocorrem em sequência, A antecede B.
Temos, pela “regra do e”:
Donde:
Portanto:
Exemplo
Vamos
voltar às bolas na urna, para entender que o teorema de Bayes responde
pergunta diferente da que foi respondida pelo cálculo da probabilidade
condicional.
voltar às bolas na urna, para entender que o teorema de Bayes responde
pergunta diferente da que foi respondida pelo cálculo da probabilidade
condicional.
Uma urna contém cinco bolas diferentes apenas quanto à cor: duas
são vermelhas, três são azuis. Retiram-se duas bolas da urna ao acaso, uma em seguida
da outra, sem recolocar na urna a primeira bola retirada.
são vermelhas, três são azuis. Retiram-se duas bolas da urna ao acaso, uma em seguida
da outra, sem recolocar na urna a primeira bola retirada.
Pergunta: qual é a probabilidade de
a primeira bola retirada ser azul, sob a
condição de a segunda bola retirada ter sido a vermelha?
Veja o diagrama de árvore: bola vermelha na
segunda retirada acontece de duas maneiras, isto é, azul e vermelha ou vermelha e vermelha:
a primeira bola retirada ser azul, sob a
condição de a segunda bola retirada ter sido a vermelha?
Veja o diagrama de árvore: bola vermelha na
segunda retirada acontece de duas maneiras, isto é, azul e vermelha ou vermelha e vermelha:
O evento de interesse é sair bola azul
na primeira retirada dado ter saído bola
vermelha na segunda retirada, ou seja:
na primeira retirada dado ter saído bola
vermelha na segunda retirada, ou seja:
Então a probabilidade de a primeira bola retirada ser azul sob a
condição de a segunda bola retirada
ser vermelha é dada por:
condição de a segunda bola retirada
ser vermelha é dada por:
Aplicamos o teorema de Bayes. Mas vamos formalizar.
Teorema de Bayes: Sejam A e B dois eventos
dependentes que ocorrem em sequência, A antes de B. A probabilidade de ocorrer A
sob a condição de ocorrer B é dada por:
dependentes que ocorrem em sequência, A antes de B. A probabilidade de ocorrer A
sob a condição de ocorrer B é dada por:
Observe o esquema abaixo: está marcado o evento de interesse, que é a probabilidade de ocorrer A dado ter ocorrido B. Mas B pode ocorrer de duas maneiras: depois de A e depois de A-traço.
Lembrando: o teorema de Bayes é o “reverso” de probabilidade
condicional:
·
A probabilidade condicional trata a probabilidade de ocorrer um evento B
sob a condição de ocorrer seu antecedente A.
A probabilidade condicional trata a probabilidade de ocorrer um evento B
sob a condição de ocorrer seu antecedente A.
·
O teorema de Bayes trata a probabilidade de ocorrer o evento A sob a
condição de ocorrer o evento B que sucede A.
O teorema de Bayes trata a probabilidade de ocorrer o evento A sob a
condição de ocorrer o evento B que sucede A.
Exemplo
Em uma cidade
em que o teste do bafômetro é obrigatório, 25% dos motoristas têm o hábito de
dirigir depois de beber. Quando testados, 99% dos motoristas que beberam positivam
para álcool. No entanto, 17% dos motoristas
que não bebem também positivam no bafômetro. Você é um agente da lei. Qual
é a probabilidade de uma pessoa que positiva no bafômetro realmente ter feito uso de
bebida alcoólica?
em que o teste do bafômetro é obrigatório, 25% dos motoristas têm o hábito de
dirigir depois de beber. Quando testados, 99% dos motoristas que beberam positivam
para álcool. No entanto, 17% dos motoristas
que não bebem também positivam no bafômetro. Você é um agente da lei. Qual
é a probabilidade de uma pessoa que positiva no bafômetro realmente ter feito uso de
bebida alcoólica?
Os
eventos “bebe” e “não bebe” serão indicados pelas letras BB e NB e o fato de
positivar no bafômetro por + e – respectivamente. Veja o diagrama de árvore.
eventos “bebe” e “não bebe” serão indicados pelas letras BB e NB e o fato de
positivar no bafômetro por + e – respectivamente. Veja o diagrama de árvore.
Exemplo
Você vai
a uma corrida de cavalos. Dois cavalos estão no páreo: o Branco e o Negro.
Branco venceu 5 das 12 vezes que correu com o Negro. E qual cavalo você
apostaria? É razoável apostar no Negro porque, da informação que você tem, a
probabilidade de o Branco ganhar é 5/12 e de o Negro ganhar é 7/12. Mas você
recebe outra informação: chovia, em 3 das 5 corridas que Branco venceu e
chovia, em 1 das 7 corridas que Negro venceu. Como está chovendo, você aposta
em Branco. Qual a probabilidade de ele (e você!) ganhar? Veja o diagrama de
árvore e ache a probabilidade pedida, que é ¾.
a uma corrida de cavalos. Dois cavalos estão no páreo: o Branco e o Negro.
Branco venceu 5 das 12 vezes que correu com o Negro. E qual cavalo você
apostaria? É razoável apostar no Negro porque, da informação que você tem, a
probabilidade de o Branco ganhar é 5/12 e de o Negro ganhar é 7/12. Mas você
recebe outra informação: chovia, em 3 das 5 corridas que Branco venceu e
chovia, em 1 das 7 corridas que Negro venceu. Como está chovendo, você aposta
em Branco. Qual a probabilidade de ele (e você!) ganhar? Veja o diagrama de
árvore e ache a probabilidade pedida, que é ¾.
Notas: 1. Thomas Bayes (1702-1761) foi um pastor presbiteriano e matemático inglês, conhecido por ter formulado o caso especial do teorema de Bayes.
2. Estudar probabilidade pensando em dados, moedas, bolas em urnas é ótimo. Mas na prática não use esse artifício para resolver um problema.
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Espectacular explicação do teorema de Bayes. Parabéns!!!!
O resposta da urna não é 3/10 ?
Amei a explicação!!!
Obrigada, João, pela dica.Acho que agora está bem.
a pergunta sobre o exercício do bafômetro esta meio equivocado, acho q a pergunta n coincide com a resposta dada, a resposta da pergunta ja esta no desenho do diagrama. "qual a probabilidade de dar positivo sendo que ele nao bebeu" e a probabilidade disso esta no diagrama
Tem razão, Caroline, a questão estava incorreta. Obrigada.
Parabéns pela ótima explicação. Isto me ajudou muito. Seu talento é muito raro pois pouquíssimas pessoas conseguem explicar algo complexo tão facilmente.
Obrigada, é o ofício de professora que, para mim, demanda mais transpiração do que inspiração.
Acho q o evento de interesse é as pessoas que não bebem e positivarem o bafômetro, nesse caso colocar 0,1275 no nominador, do modo que fique: 0,1275/ 0,3750 = 34%, faz sentido?