O problema ou paradoxo de Monty Hall é
aparentemente fácil, mas, na realidade, é um problema de probabilidade de
difícil solução. Só para deixar você tranquilo – estatísticos profissionais já
erraram – e para ter certeza de que a solução dada aqui, hoje bem conhecida, é
a correta, fizeram até simulações.
aparentemente fácil, mas, na realidade, é um problema de probabilidade de
difícil solução. Só para deixar você tranquilo – estatísticos profissionais já
erraram – e para ter certeza de que a solução dada aqui, hoje bem conhecida, é
a correta, fizeram até simulações.
Mas vamos primeiro à história do
problema. Na década de 70 havia um programa de auditório apresentado por Monty
Hall na ABC, rede de televisão
nos Estados Unidos da América. O quadro de maior sucesso era Let’s Make a
Deal! O apresentador, Monty Hall, convidava alguém da platéia para ir até o
palco e escolher uma de três portas que ali estavam.
problema. Na década de 70 havia um programa de auditório apresentado por Monty
Hall na ABC, rede de televisão
nos Estados Unidos da América. O quadro de maior sucesso era Let’s Make a
Deal! O apresentador, Monty Hall, convidava alguém da platéia para ir até o
palco e escolher uma de três portas que ali estavam.
Veja bem: eram três portas. Atrás de uma delas havia
um carro; atrás de cada uma das outras duas, havia uma cabra. O apresentador
sabia o que estava atrás de cada porta, mas seu convidado não. De qualquer
forma, o convidado escolhia uma das portas ao acaso, sabendo que receberia como
prêmio o que estava atrás dela.
um carro; atrás de cada uma das outras duas, havia uma cabra. O apresentador
sabia o que estava atrás de cada porta, mas seu convidado não. De qualquer
forma, o convidado escolhia uma das portas ao acaso, sabendo que receberia como
prêmio o que estava atrás dela.
Para resolver o problema, vamos construir o espaço
dos eventos possíveis. São três portas (porta nº 1; porta nº 2; porta nº 3) Há
três possibilidades de o apresentador arranjar carro e cabras, que
denominaremos A, B e C. Veja a tabela abaixo.
dos eventos possíveis. São três portas (porta nº 1; porta nº 2; porta nº 3) Há
três possibilidades de o apresentador arranjar carro e cabras, que
denominaremos A, B e C. Veja a tabela abaixo.
|
Arranjo (posição
de carro e cabras) |
Porta escolhida
|
||
|
Porta 1
|
Porta 2
|
Porta 3
|
|
|
A
|
Carro
|
Cabra
|
Cabra
|
|
B
|
Cabra
|
Carro
|
Cabra
|
|
C
|
Cabra
|
Cabra
|
Carro
|
Qualquer que
seja o arranjo do carro e das cabras – A, B ou C –, a probabilidade de uma
pessoa ganhar o carro é 1/3, se escolher uma porta ao acaso sem saber o que há detrás
dela.
seja o arranjo do carro e das cabras – A, B ou C –, a probabilidade de uma
pessoa ganhar o carro é 1/3, se escolher uma porta ao acaso sem saber o que há detrás
dela.
O convidado
fazia então sua escolha. Feita a escolha, o apresentador abria outra porta –
que não a indicada pela pessoa convidada – e mostrava que havia ali uma cabra.
Veja bem: qualquer porta que a pessoa tenha escolhido, sempre haverá outra
porta com uma cabra atrás. O apresentador então perguntava:
fazia então sua escolha. Feita a escolha, o apresentador abria outra porta –
que não a indicada pela pessoa convidada – e mostrava que havia ali uma cabra.
Veja bem: qualquer porta que a pessoa tenha escolhido, sempre haverá outra
porta com uma cabra atrás. O apresentador então perguntava:
Quer trocar a porta que você
escolheu e ainda está fechada, pela outra porta, que também está fechada?
escolheu e ainda está fechada, pela outra porta, que também está fechada?
Se o convidado trocar a porta que escolheu tem
probabilidade 2/3 de ganhar.
probabilidade 2/3 de ganhar.
Se não
mudar a opção, a probabilidade de ganhar o carro é 1/3. Difícil de engolir?
mudar a opção, a probabilidade de ganhar o carro é 1/3. Difícil de engolir?
Mas vamos lá: veja
a tabela dada anteriormente. Há três arranjos possíveis para os prêmios: A, B,
C. Veja o arranjo A:
a tabela dada anteriormente. Há três arranjos possíveis para os prêmios: A, B,
C. Veja o arranjo A:
As opções
do convidado eram três. Escolher:
do convidado eram três. Escolher:
·
Porta 1: o apresentador
abriria a Porta 2 ou a 3; trocar significa ganhar
uma cabra.
Porta 1: o apresentador
abriria a Porta 2 ou a 3; trocar significa ganhar
uma cabra.
·
Porta 2, o
apresentador abriria a Porta 3; trocar significa ganhar o carro.
Porta 2, o
apresentador abriria a Porta 3; trocar significa ganhar o carro.
·
Porta 3, o
apresentador abriria a Porta 2; trocar significa ganhar o carro.
Porta 3, o
apresentador abriria a Porta 2; trocar significa ganhar o carro.
Se a
ordem do arranjo for A, a pessoa ganha (se trocar) em duas das três opções. Veja
a tabela dada em seguida. Acontece o mesmo se a ordem dos arranjos for B ou C.
ordem do arranjo for A, a pessoa ganha (se trocar) em duas das três opções. Veja
a tabela dada em seguida. Acontece o mesmo se a ordem dos arranjos for B ou C.
Esta resposta foi
dada por Marilyn vos Savant, de QI sabidamente alto, escritora e colunista da
revista Parade dos Estados
Unidos da América. Na revista, Marilyn vos Savant
responde a perguntas de seus leitores sobre matemática e ciência avançada. Mas
a solução não foi aceita pacificamente. Muitos probabilistas duvidaram da
resposta, mas acabaram vencidos.
dada por Marilyn vos Savant, de QI sabidamente alto, escritora e colunista da
revista Parade dos Estados
Unidos da América. Na revista, Marilyn vos Savant
responde a perguntas de seus leitores sobre matemática e ciência avançada. Mas
a solução não foi aceita pacificamente. Muitos probabilistas duvidaram da
resposta, mas acabaram vencidos.
Referências
1. MLODINOW, L. O Andar do Bêbado. Rio de
Janeiro Zahar. 2009. Tradução de Diego Alfaro.
Janeiro Zahar. 2009. Tradução de Diego Alfaro.
2. ALIAGA, M. e GUNDERSON, B. Interactive Statistics. New
Jersey, Prentice Hall, 2 ed. 2003.
Jersey, Prentice Hall, 2 ed. 2003.
