MATRIZES : REGRA DE CRAMER PARA SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

Uma das
aplicações mais importantes de matrizes é a solução de equações lineares
simultâneas. É claro que o uso de um computador torna o trabalho muitíssimo
menos demorado e dá maior confiança nos resultados. A aritmética envolvida na álgebra
matricial é penosa! Mas vamos dar alguns exemplos que você deve conferir
usando apenas papel e lápis, porque isso não só ajuda a entender os
procedimentos como também facilita a interpretação dos resultados e posterior
compreensão de textos mais avançados. 

5.1.
Escrevendo equações na forma de matrizes

Considere
as equações simultâneas

 Elas
podem ser escritas na forma de matriz:

1. A primeira matriz, A, é denominada matriz dos coeficientes.
É uma matriz 2 x 2.

2. A segunda matriz, X, em que os elementos são as
incógnitas, é um vetor coluna de
ordem 2 x 1.

3. A terceira matriz Y também é um vetor coluna de ordem 2
x 1, e os elementos são os termos conhecidos.

 O sistema de equações
pode ser escrito como AX=Y.

5.2.  Regra de Cramer

5.2.1.    Duas equações com duas incógnitas

Vamos começar
resolvendo um sistema de duas equações com duas incógnitas, x₁ e x₂. É dado o sistema de
equações lineares:

Ache o determinante de
A, que deve ser obrigatoriamente diferente de zero.

Substitua a primeira
coluna de matriz A pelos termos
conhecidos do sistema de equações. Será a matriz D₁. Calcule o determinante de D₁.

 Exemplo

Resolva o sistema de
equações usando a regra de Cramer.

Solução:

5.2.1.    Três equações com três incógnitas

Procedimento similar
ao que foi seguido para resolver um sistema de duas equações com duas
incógnitas pode ser usado para resolver um sistema de três equações com três
incógnitas, usando a regra de Cramer. Seja o sistema de equações:

A solução desse
sistema de equações é dada por:

         
 O determinante da
matriz dos coeficientes é, necessariamente, diferente de zero.

                        
   Exemplo

Usando a regra de Cramer, ache a solução de:

Primeiro, vamos achar o determinante dos
coeficientes:

Podemos agora achar os determinantes dos
numeradores das frações, uma vez que D≠0.

A solução desse sistema de equações é
dada por

         Quatro equações com quatro incógnitas

Para achar a solução
para um sistema de quatro equações com quatro incógnitas usando a regra de
Cramer, o procedimento é similar ao que foi seguido para resolver um sistema de
duas equações com duas incógnitas. Então, vamos direto para um exemplo.

Exemplo

Usando a regra de Cramer, ache a solução de:

Vamos calcular o
determinante dos coeficientes das incógnitas:

           A
solução é (1, 2, -3, -1)