Tratamos aqui o essencial sobre matrizes para a compreensão de análise
de regressão e análise de variância. A discussão não é rigorosa, mas no final
deste trabalho são dadas referências, para quem quiser ir além de parcos rudimentos
de álgebra linear.
4.1. Soma de matrizes
Para somar duas matrizes, some os
elementos que estão em posições correspondentes.
Exemplo
São dadas duas matrizes, A e B. Veja como se faz a soma delas.
Importante: só
podem ser somadas matrizes de mesmo tamanho. Não se pode somar uma matriz 3 x2
com uma matriz 2 x 3.
Vamos formalizar a
definição de soma de matrizes. Sendo A=[aij] e B=[bij] duas
matrizes de mesma ordem, a soma dessas matrizes é
C
é uma matriz da mesma
ordem de A e B e seus elementos são obtidos pela soma aij +bij.
4.2. Subtração de matrizes
Para subtrair matrizes,
proceda à subtração dos elementos que ocupam posições correspondentes.
Exemplo
São dadas as mesmas duas matrizes de
mesma ordem, A e B. Veja como se subtrai B de A.
4.3. Multiplicação de
matrizes
4.3.1.
Multiplicação de matriz por um escalar
É
fácil multiplicar uma matriz por um número real k. Por exemplo, para multiplicar a matriz M
por 2,
isto é, para obter 2 x M multiplique
cada elemento da matriz M por 2:
Então:
Generalizando: para multiplicar uma matriz M
de ordem m x n por um número real k, é
preciso multiplicar k por cada um dos
elementos de M.
4.3.2.
Multiplicação de matrizes
Para multiplicar uma matriz A
por uma matriz B, é preciso
fazer o produto de linhas por colunas, ponto a ponto. Importante é que o número
de colunas em A seja igual ao número
de linhas em B. Se A é uma matriz m x n e B é uma matriz n x p, a matriz C resultante será m x p.
Exemplo
3 e B
é 3 x 2.
Exemplo
Sejam as matrizes A e B. A é uma matriz 2 x
3 e B
é 3 x 2.
A matriz C, resultante da multiplicação de uma matriz A, 2 x 3, por uma matriz B,
3 x 2, é uma matriz 2 x 2.
Para obter a matriz C:
1. Multiplique
os elementos da primeira linha de A
com os elementos correspondentes da primeira coluna de B:
2. Some
os produtos. O resultado é o primeiro elemento da primeira linha e primeira
coluna de C.
3. Multiplique
dos elementos da primeira linha de A
com os correspondentes da segunda coluna de B e some:
4. O
resultado é o primeiro elemento da primeira linha e segunda coluna de C.1.
5. Trabalhe
agora com a segunda linha da matriz A e
a primeira coluna da matriz B. O
resultado é o elemento da segunda linha e primeira coluna da matriz C.
6. Finalmente,
faça os cálculos com a segunda linha da matriz A e segunda coluna da matriz B.
O resultado é o elemento da segunda linha e segunda coluna da matriz C.
7. Agora
você tem o produto das matrizes A x B,
ou seja, a matriz C.
Vamos definir mais formalmente a
multiplicação de matrizes. Considere uma matriz A de ordem m x n
e uma matriz B de ordem n x p.
O produto
Veja bem: você obtém o
elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz
C, multiplicando todos os elementos da i-ésima
Exemplo
Dadas as matrizes A e B, calcule o produto delas.
Lembre-se de que, para que uma matriz A possa ser multiplicada por uma matriz
B, o número de colunas de A deve ser
igual ao número de linhas de B.
Observe: o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B,
isto é, 2. Então C, que é o produto de A por B, é uma matriz 2 x 2.
Exemplo
Dadas as matrizes M e N, o produto
Observe: o número de colunas de M é 2, diferente do número de linhas de N. Então o produto dessas duas matrizes
não é definido.
4.3.3.
Propriedades da multiplicação de matrizes
1ª propriedade
Uma matriz A pode ser multiplicada por uma matriz B somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. O resultado da multiplicação terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
2ª propriedade
A multiplicação de matrizes
não é comutativa. Mesmo que seja
possível multiplicar A por B e B por A, os produtos podem ser
diferentes e de ordens diferentes.
1. Se A for de ordem n
x m e B for de ordem m x n,
Exemplo
Vimos que:
Vamos obter
Verifique:
2. Ainda que A e B sejam matrizes quadradas, as matrizes resultantes da
multiplicação de A e de B não são necessariamente iguais.
Exemplo
Dadas as matrizes A e B, verifique que:
3ª propriedade
Um vetor linha pós-multiplicado por um vetor coluna é um
escalar.
Exemplo
São dados os vetores
O produto deles é um escalar:
4ª propriedade
Um vetor coluna pós-multiplicado por um vetor linha é uma
matriz.
Exemplo
São dados os vetores
O produto deles é uma matriz
de ordem 3 x 3:
Inversão de matrizes e o uso de matrizes para resolver sistemas lineares simultâneos serão tratadas em novas s, porque o texto já está muito longo. Continue nos seguindo, até o final da semana tudo estará postado.
