Matrizes e determinantes : para usuários

Serão apresentados, em
cinco postagens, rudimentos de álgebra matricial, para usuários. Segue o
sumário.

Sumário

1. Introdução

a.
Equações lineares

b.
Sistemas de equações
lineares simultâneas

i.
Duas equações com duas
incógnitas

ii.
Três equações com três
incógnitas

c. Permutação simples

2. Matrizes e determinantes

a. Definição de matriz

b. Tipos de matrizes

i.
Matriz
linha

ii.
Matriz
coluna

iii.
Matriz
nula

iv.
Matriz
transposta

v.
Matriz
quadrada

vi.
Matriz
identidade

vii.
Matriz
diagonal

viii.
Matriz
simétrica

ix.
Matriz
oposta

x.
Matriz
antissimétrica

c. Determinante

I.
Determinante
de matriz 2 x 2

II.
Determinante
de matriz 3 x 3

III.
Determinante
de matriz 4 x 4

d. Definição formal de
determinante

I.
Teorema

3. Propriedades dos
determinantes

a. Propriedades

b. Regra de Sarrus

4. Operação com matrizes

a. Soma de matrizes

b. Subtração de matrizes

c. Multiplicação

i.
Multiplicação
de matriz por um escalar

ii.
Multiplicação
de matrizes

iii.
Propriedades
da multiplicação de matrizes

d. Inversão de matrizes

i.
Matriz
inversa

ii.
Matriz
singular

iii.
Procedimento
para a inversão de matriz

iv.
Uso
de matriz inversa

5.
Solução de sistemas lineares usando
matrizes

a.
Escrevendo equações na
forma de matrizes

b. Regra de Cramer

i.
Duas equações com duas
incógnitas

ii.
Três equações com três
incógnitas

iii.
Quatro equações com quatro
incógnitas

c. Uso de matriz inversa

i.
Duas equações com duas incógnitas

ii.
Três equações com três
incógnitas

1.
Introdução

Álgebra linear é a área da matemática que
trata a teoria dos sistemas de equações lineares, matrizes, espaços vetoriais,
determinantes e transformações lineares. O
tema mais importante da álgebra linear é a teoria dos sistemas de equações
lineares. Técnicas de álgebra linear são usadas em
geometria analítica, engenharia, física, ciências naturais, ciências da
computação, animação por computador, ciências sociais. A álgebra linear é, portanto, uma ferramenta
matemática valiosa em diversas áreas, mas principalmente em estatística que aplica conhecimentos de álgebra linear em:

• Regressão
linear.

• Análise de
variância.

• Análise
multivariada.

• Análise de componentes
principais.

Como você pode
ver, pelo menos no que diz respeito aos interesses de um profissional que
utiliza estatística, a compreensão de muitas ferramentas de análise de dados
depende do conhecimento de álgebra linear.
E como a álgebra linear é uma teoria bem desenvolvida, os modelos matemáticos
não lineares às vezes são aproximados por modelos lineares.

1.1
Equações
lineares

Mas vamos começar entendendo o que é uma
equação linear e o que é um sistema de equações lineares. Equação linear é uma
série de termos e operações matemáticas em que alguns termos são desconhecidos.
Por exemplo, a equação:

é linear porque
descreve uma linha em um
gráfico bidimensional. Para isso, basta dar diferentes valores para x e achar assim os valores de Y. Assim, para x = 0, Y = 1 e para x = 2, Y = 9. Veja a Figura 1.

Uma equação
linear pode ser escrita na forma

em que x₁,…, x_n são
varáveis desconhecidas, também chamadas incógnitas, os coeficientes a₁,…, a_neY
são números reais ou complexos já conhecidos. Então a equação

é uma equação linear porque pode ser
escrita na forma

Também são lineares as equações:

Entretanto, as equações não são lineares:

1.2.
Sistemas de equações lineares simultâneas

Um sistema de equações lineares simultâneas
é constituído por um conjunto de equações. É apresentado na seguinte forma:

1.2.1.
Duas equações com duas incógnitas

A solução de um sistema de equações simultâneas
é uma lista de números s₁,
s₂, …, s_n, que tornam a equação
verdadeira quando os valores x₁, x₂,…, x_n são substituídos pela solução. Veja o sistema de
equações apresentado em seguida. São duas equações com duas incógnitas.

Para obter a solução, você pode usar o
método da adição ou o método da substituição, que são objeto de estudo em
textos para pré-universitários. Aqui, vamos apenas dar a solução e mostrar o
significado gráfico da solução encontrada. Então, usando o método da adição, ou
seja, somando as duas equações, você obtém:

Substituindo o valor X =2na primeira equação, você obtém:

Portanto,
a solução do sistema é (2;3). Mas a solução do sistema das duas equações com
duas incógnitas que acabamos de resolver pode ser vista colocando essas
equações em gráfico, como duas retas:

A intercessão de duas retas é a solução do
sistema. Veja a Figura 2. É fácil ver a solução do sistema de equações: é a intercessão
no ponto X=2, Y= 3.

Figura
2

Solução do
sistema de equações:

ponto em que
duas retas se cruzam

Resolver um sistema de equações lineares simultâneas
de duas equações com duas incógnitas é assunto que você já conhece. Mas vamos
ver exemplos que ilustram os
três tipos básicos de conjuntos de soluções que são possíveis para um sistema
de equações lineares simultâneas:

1. O sistema
possui exatamente uma solução (sistema consistente).

2. O sistema
possui um número infinito de soluções (sistema consistente).

3. O sistema não
tem solução (sistema inconsistente).

Exemplos

Resolva cada um dos três sistemas de
equações lineares e represente graficamente cada sistema como um par de linhas
retas.

1º sistema de equações

Este sistema de
equações tem uma solução. Você pode usar o método da adição. Fazendo a soma,
você obtem x = 1.

Então y = 2. A solução também pode ser
encontrada graficamente. Reescreva as equações como retas:

Essas duas retas cruzam no ponto em que x = 1 e y =
2, ou seja, dão a solução do sistema. Veja a Figura 3.

Este sistema tem
um número infinito de soluções porque a segunda equação é o resultado da
multiplicação de ambos os lados da primeira equação por 2. O gráfico deste sistema é representado por duas retas
coincidentes:

Este sistema não
tem solução porque é impossível a soma de dois números ser 3 e 1, ao mesmo tempo. O gráfico deste sistema é
representado por duas retas paralelas

Em situações do mundo real, não é incomum ter de resolver sistemas com Em situações do mundo real, não é incomum ter de resolver sistemas com centenas ou, até mesmo, milhares de equações. Nosso objetivo é mostrar como resolver sistemas maiores do que estes, que estamos vendo neste primeiro Capítulo. Mas agora vamos resolver um sistema de três equações com três incógnitas. Começaremos com um exemplo fácil.

1º sistema de três equações com três incógnitas

       Como o próprio sistema fornece z = 2, substituímos

 esse valor na segunda equação:



     Donde y =-1 Obtemos então o valor de x na primeira equação:

   A solução do sistema é (2; -1; 1). Note que o sistema

de equações foi resolvido de baixo para cima, isto é, resolvida

a terceira equação,resolvemos a segunda e depois a primeira.

    A aritmética para resolver o sistema de equações,

 como vimos, é elementar, mas exige atenção. Recomenda-se sempre

 verificar se a solução está correta. Então:



2º sistema de três equações com três incógnitas 
    
  Vamos resolver outro sistema de três equações com três
 incógnitas. 

 
            Você já aprendeu que para resolver um sistema com três
 equações e três incógnitas é preciso começar eliminando uma delas.
Uma sugestão é começar eliminando a incógnita com sinal negativo ou
 coeficiente igual a 1.No exemplo, tome a primeira e a segunda equação.
Multipliquea segunda equação por 3 e some à  primeira. Veja:
               
     Vamos chamar a equação que obtivemos de A. Agora, volte
 ao sistema de equações iniciais. Multiplique a segunda
 equação por 3 e some à  terceira. Veja: 
            

   Multiplique (A) por (-5) e (B) por 2 e some:



Substituindo esse valor de x em (A):



Substituindo os valores de x e de y na segunda equação
 do sistema de equações, vem:
         

Temos agora a solução do sistema de equações:

                 x =-1, y = 3, z = -1.