INVERSÃO DE MATRIZES

Antes de ver como se faz
a inversão de uma matriz, é preciso definir matriz inversa e matriz singular.

4.4.1. Matriz inversa

Matriz inversa de B, que se indica por B^-1, é inversa de B
somente se

Em
palavras, a matriz B^-1 é inversa de B somente se o produto de B por B^-1 for igual ao produto de B^-1 por B e
ambos resultarem em uma matriz identidade.

4.4.2. Matriz singular

Matriz singular é a matriz
que não tem inversa.

4.4.3. Procedimento
para a inversão de uma matriz

É
trabalhoso achar a inversa de uma matriz, mas felizmente existem computadores!
De qualquer modo, vamos inverter uma matriz 2 x 2. É dada a matriz

Veja
o procedimento para achar a matriz inversa de M, isto é, M^–1:

1. Calcule o determinante de M:

2. Na matriz M, troque as posições de a e
d.

3. Troque os sinais de b e c, mas os mantenha
nas mesmas posições.

4.
Divida a
matriz que você obteve pelo determinante de M, para achar a inversa
de M, ou seja, M^-1.

Exemplo

Ache
a matriz inversa de

É
preciso calcular:

1.
O
determinante de M:

2.
Troque
a₁₁ de lugar com a₂₂ e mude os sinais de a₁₂ e a₂₁:

3.
Divida
essa matriz pelo determinante de M,
para obter:

Mas M^-1 é a inversa da matriz M somente se

Então,
vamos calcular:

Agora,
vamos calcular

Temos
então que

Importante:

Você só pode inverter matrizes
quadradas não singulares, isto é, matrizes quadradas com determinante diferente de zero.

4.4.4.
Uso de matriz inversa

Matrizes e
determinantes são ferramentas extremamente úteis em várias áreas do
conhecimento. Um problema central da álgebra linear é a solução da equação
matricial

AX = B

para X. Embora em teoria isso possa ser
resolvido por outras técnicas, é comum achar X fazendo uso de uma matriz inversa:

X= A^-1B

Tecnicamente, não se
faz uma divisão de matrizes. A
operação equivalente da “divisão” de uma matriz B por uma matriz A é a multiplicação de B pela inversa de A. Você aceita isso facilmente quando
se trata de escalares. Por exemplo, dividir 10 por dois equivale a multiplicar
dez por meio:

10 ÷ 2 = 10 x ½ = 5

No entanto, você não pode multiplicar
matrizes pensando que pode aplicar a elas as mesmas propriedades que usa com
escalares.De qualquer modo, se você quiser “dividir” a matriz A pela matriz B, a matriz B precisa ser não singular, isto é, tem de ser possível obter a inversa de B.
Portanto, B deve ser uma matriz quadrada com determinante diferente
de zero. E não se esqueça de que A x
B^-1 não é igual a B^-1x A.