Distribuição trinomial

Imagine
uma sequência de n eventos (ou n ensaios,
ou n tentativas) idênticos e independentes. Em cada evento, são
possíveis três resultados: “sucesso”, “fracasso” e
“nenhum deles”.

Em
todos os eventos, a probabilidade de sucesso (ocorrer o evento de interesse) é p,
a probabilidade de fracasso é q e a probabilidade de não ocorrer
nenhum deles é 1-(p+q).

EXEMPLO
1

Uma urna contém cinco bolas vermelhas, quatro bolas
verdes e três bolas azuis, diferentes apenas em relação a
cor. Essas bolas estão perfeitamente
misturadas. Sem olhar, você retira uma bola, anota a cor e a recoloca na urna, misturando
bem. Repete o procedimento por 20 vezes (1).

Qual
é a probabilidade de, nessas 20 retiradas, saírem oito bolas vermelhas e cinco verdes? Esta
é uma das muitas possibilidades.

Definição de distribuição trinomial: sejam n ensaios idênticos e
independentes. Cada ensaio pode resultar em um de três eventos: sucesso,
fracasso e nenhum deles. Seja X o número de vezes que um
ensaio termina em sucesso, Y o número de vezes que um ensaio
termina em fracasso e Z o número de vezes que um ensaio
termina em nenhum deles. A probabilidade de ocorrerem x sucessos, y fracassos
e nenhum deles em número z é
dado por:

x = 0, 1, …, n

y = 0, 1, …, n

x + y ≤ n

RESOLVENDO O EXEMPLO 1

No exemplo das bolas na urna, vamos
representar por X o primeiro tipo de resultado,
por Y o segundo tipo de resultado e
por Z o terceiro tipo de resultado.
Nesse exemplo:

n= 20 tentativas

x = 8 bolas vermelhas

y = 5 bolas verdes

z = 20-8-5=7 bolas azuis

Para obter a probabilidade
pedida, aplique a fórmula:

A
probabilidade de, nas 20 retiradas, saírem oito
bolas vermelhas e cinco verdes é 2,276%.

EXEMPLO 2

Foram sorteados 20 alunos de uma escola para
responder um questionário sobre violência no futebol (2). No sábado anterior,
havia tido um jogo importante. A probabilidade de o aluno ter ido ao jogo
(evento A) é 0,20, a probabilidade de o aluno ter assistido ao jogo pela TV
(evento B) é 0,50 e a probabilidade de o aluno ter ignorado o jogo (evento C) é
0,30. Qual é a probabilidade de, dos 20 alunos sorteados, 4 terem ido assistir ao jogo no campo e 10 alunos terem assistido ao jogo na TV?

n= 20 alunos

x = 8 terem ido ao campo de futebol

y = 5 terem assistido ao jogo na TV

z = 20-8-5=7 terem ignorado o jogo

Para obter a probabilidade
pedida, aplique a fórmula:

A
probabilidade de, dos 20 alunos, oito terem
ido ao jogo, cinco terem assistido o jogo na TV e sete terem ignorado o assunto
é 0,175%.

EXEMPLO 3

Dois enxadristas devem disputar 12 jogos (3). Com base em jogos
anteriores, estima-se que a probabilidade de um deles (que chamaremos de A)
vencer é 0,40 e a probabilidade do outro (que chamaremos de B) vencer é 0,35.
Estima-se a probabilidade de empate em 0,25. Qual é a probabilidade de A vencer
7 jogos e B vencer 2 jogos?

n = 12 jogos

x = 7 A vencer

y = 2 B vencer

z = 3 empatar

=0,0248

EXEMPLO 4

Em uma pesquisa para eleição
presidencial, 40% dos eleitores disseram preferir o candidato A, 10% disseram
preferir o candidato B e os demais disseram estar indecisos (3). Você seleciona
10 eleitores ao acaso. Qual é a probabilidade de 4 prefiram o candidato A, 1
prefira o candidato B e os demais continuem indecisos?

n
= 10 entrevistados