Distribuição hipergeométrica: função de distribuição

Para entender distribuição
hipergeométrica, veja um exemplo.

PROBLEMA: Uma caixa contém 20 bolas vermelhas
e 20 bolas azuis. Quatro bolas são retiradas da caixa ao acaso. Qual é a
probabilidade de saírem duas
bolas vermelhas e,
consequentemente, duas azuis?

SOLUÇÃO: A caixa
contém 20 + 20 = 40 bolas. Dela são retiradas quatro

bolas ao acaso. O número
de eventos diferentes é

De quantas maneiras podem
ser retiradas duas bolas vermelhas? Há 20 bolas vermelhas na caixa. Então
existem

maneiras de serem
retiradas duas bolas vermelhas da caixa. Da mesma forma, existem

maneiras de serem retiradas duas bolas
azuis da caixa. Logo, a probabilidade de saírem duas bolas vermelhas e duas bolas azuis dessa caixa,
quando são retiradas ao acaso quatro bolas, é:

Definição de distribuição hipergeométrica

Seja uma população com N unidades, das quais N₁são de determinado tipo A
e N₂são de tipo B. Evidentemente:

N₁ + N₂ = N

Suponha que é tomada, dessa população, uma
amostra aleatória de tamanho n ≤ N. Seja X₁ o número de
elementos do tipo A na amostra. Então X₁é uma variável aleatória cujos valores possíveis são 0, 1, 2, … , n.

A função de distribuição
da variável aleatória X₁ pode então ser escrita como segue:

Uma distribuição hipergeométrica
fica definida quando são dados N, N₁, n e X₁. Para facilitar no desenvolvimento das
fórmulas, vamos indicar o número de elementos do tipo B na amostra por x₂. Evidentemente:

Então, desenvolvendo a fórmula da
função de distribuição,, vem:

Vamos voltar ao exemplo.

PROBLEMA: Uma caixa
contém 20 bolas vermelhas e 20 bolas azuis. Quatro bolas são retiradas da caixa
ao acaso. Qual é a probabilidade de saírem duas bolas vermelhas e,
consequentemente, duas azuis?

SOLUÇÃO