Para
trabalhar com matrizes quadradas, é importante conhecer as propriedades dos
determinantes, porque assim o trabalho se torna mais fácil. Detenha-se na
propriedade e no exemplo. As provas você vê quando tiver tempo. Ainda, note que
as propriedades estão ordenadas como 1ª, 2ª, 3ª etc.. Não há qualquer sentido
teórico nessa ordenação. É apenas para melhorar a diagramação.
3.1.
Propriedades
1ª propriedade
O sinal do
determinante de uma matriz muda se você trocar duas linhas (ou duas colunas) de
lugar: o determinante passa de positivo para negativo, ou de negativo para
positivo.
Exemplo
É dada a matriz
Troque de lugar a primeira com a terceira linha:
Então:
Observação: Dada uma matriz M, se forem feitas p permutações de linhas (ou de colunas),
o determinante da nova matriz será igual a +M ou –M, dependendo
do número de permutações p ser par ou
ímpar.
2ª propriedade
Se você
multiplicar todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) do determinante
por uma constante k, o determinante fica multiplicado por essa constante k.
Exemplo
É dada a matriz:
O determinante é:
Multiplicando a terceira linha por 4, obtemos
a matriz B’:
Logo:
3ª propriedade
Se todos os
elementos de uma linha (ou uma coluna) de uma matriz forem iguais a zero, o
determinante será igual a zero.
Exemplo
Dada a matriz B, verifique que o determinante é zero.
4ª propriedade
Se duas linhas
(ou duas colunas) de uma matriz são iguais, seu determinante é zero.
Exemplo
É dada uma matriz com duas
linhas iguais: a primeira e terceira. Vamos verificar que o determinante é
zero.
5ª propriedade
Se duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz são
proporcionais, o determinante é nulo.
Exemplo
Note que a terceira coluna da mátria A dada em seguida é o triplo da primeira coluna.
Você pode reescrever A como segue:
Lembrando a 2ª propriedade e
colocando 1/3 em evidência, vem:
6ª propriedade
Se todos os elementos abaixo (ou acima) da diagonal
principal de uma matriz forem iguais a zero, o determinante será igual ao
produto dos elementos da diagonal principal.
Exemplo
Dadas as matrizes A e B, verifique que ambas são iguais aos produtos das diagonais
principais.
7ª propriedade
O determinante de uma
matriz quadrada M não se altera se as linhas forem ordenadamente trocadas com
as colunas ou,
O determinante de uma matriz quadrada é
igual ao determinante de sua transposta.
Exemplo
Dada a matriz
3.1.
Regra de Sarrus
A regra de Sarrus é um procedimento
específico que facilita o cálculo do determinante de uma matriz 3 x 3. Seja a
matriz:
Vamos
reescrever o valor que achamos para o determinante, colocando os três termos
com sinais positivos primeiro, depois os três termos com sinais negativos:
Observe
que todas as parcelas são formadas pelo produto de três elementos. Veja como
construir as parcelas com sinal positivo:
·
a
primeira parcela com sinal positivo do determinante é dada pelo produto dos
elementos da diagonal principal, indicada pela flecha na Figura 1.
·
a
segunda parcela com sinal positivo do determinante é dada pelo produto dos
elementos marcados em vermelho na Figura 1.
·
a
terceira parcela com sinal positivo do determinante é dada pelo produto dos
elementos marcados azul na Figura 1.
Veja
como construir as parcelas com sinal negativo:
·
a
primeira parcela com sinal negativo do determinante é dada pelo produto dos
elementos da diagonal secundária, indicada pela flecha na Figura 2.
·
a
segunda parcela com sinal negativo do determinante é dada pelo produto dos
elementos marcados em vermelho na Figura 2.
·
a
terceira parcela com sinal negativo do determinante é dada pelo produto dos
elementos marcados azul na Figura 2.
A soma das seis parcelas – três com
sinal positivo, três com sinal negativo – dá o determinante. Esta regra prática
denomina-se Regra de Sarrus.
Exemplo
Calcule o determinante da matriz:
Aplicando a Regra de Sarrus:
