Álgebra de matrizes I:Cálculo de determinante

1.
Permutação simples

Considere os elementos A₁, A₂,
A₃,…, A_n.

Permutação simples de A₁, A₂,
A₃,…, A_né qualquer
conjunto ordenado formado por todos esses elementos sem repetição, de tal
maneira que um conjunto se distingue de outro apenas pela ordem de seus
elementos.

O número de permutações simples de n elementos
é n!

Exemplo 1

Três crianças que chamaremos de A
(Ana), B (Bia) e C (Cadu) vão formar uma fila para ganhar um sorvete. De
quantas maneiras elas podem se ordenar? Quais são as permutações possíveis?

Número de maneiras
como elas podem se ordenar:

3! = 3 x
2
x 1 = 6 maneiras, ou seja:

· A, B, C

· A, C, B

· B, A, C

· B, C, A

· C, A, B

· C, B, A

Dados n elementos, uma de suas
permutações é a permutação fundamental ou principal. Se dois
elementos de qualquer outra permutação desses mesmos elementos estiverem
em ordem diferente daquela em que se apresentam na permutação
fundamental, dizemos que houve uma inversão. Uma permutação é
de classe par quando tem número par de inversões. Uma
permutação é de classe ímpar quando tem número ímpar de
inversões.

1. Teorema

“Se, em uma permutação, dois elementos quaisquer trocam de lugar, a
permutação muda de classe”.

Sejam
dois elementos consecutivos que não apresentam inversão em
relação à permutação fundamental. Se eles trocarem de lugar entre si, passam a
apresentar inversão. O número de inversões aumenta, então, uma unidade e a
permutação muda de classe.

Exemplo 2

Considere fundamental a permutação:

A, B, C, D, E, F

A permutação

B, A, C, D, E, F

Tem uma inversão. Logo, é
de classe ímpar. A permutação

E, B, D, C, A, F

é de classe par porque tem
oito inversões:

E-B, E-D, E-C, E-A, B-A, D-C, D-A, C-A

Por outro lado, dois elementos consecutivos
que apresentam inversão em relação à permutação fundamental
deixam de apresentar inversão, se trocarem de lugar entre si. O número de
inversões diminui de uma unidade e a permutação muda de classe.

Exemplo 3

Reveja o Exemplo 1. Considere fundamental a
permutação: A, B, C.

Se A e B trocam de lugar, o número de inversões
aumenta uma unidade; a permutação B, A, C é de classe ímpar.

Agora, a permutação C, B, A tem três inversões:
C-B, C-A, B-A. Se B e A trocam de lugar, o número de inversões diminui para
dois; a permutação C, A, B é de classe par.

3. Matriz quadrada

Matriz é um conjunto de números arranjados da
seguinte forma:

Diagonal principal de uma matriz quadrada é a diagonal formada
pelos elementos que têm os dois índices iguais como a₁₁, a₂₂,… a_nn.

Diagonal secundária de uma matriz quadrada é a diagonal formada
pelos elementos a_1n, a_2(n-1),… a_n₁,que
têm soma dos dois índices igual a n+1.

Elementos simétricos são todos os elementos do tipo a_rsa_sr.

Determinante de uma matriz é um número calculado a partir de uma matriz quadrada. Mas vamos
entender o que é determinante a partir de casos particulares e depois veremos a
definição.

Matriz 2 x 2

É dada uma matriz 2 x 2, isto é, uma matriz com duas linhas e duas colunas.

O determinante dessa matriz, que se indica entre
linhas, é

Só para lembrar, visualize o produto cruzado

Exemplo 4

Dada a matriz 2 x 2 abaixo, vamos calcular o
determinante.

O determinante é

Matriz 3 x 3

É dada uma matriz 3 x 3, isto é, uma matriz com
três linhas e três colunas.

Para obter o determinante dessa matriz, veja
o esquema:

Então, você calcula:

Veja a regra:

1. Multiplique a
pelo determinante da matriz 2 × 2 que não está na linha nem na coluna em que
está a.

2. Proceda da mesma forma, para b e para c, elementos da
primeira linha.

3. Note que a alternância
dos sinais: + para a, – para b,+ para c.

Exemplo 5

É
dada uma matriz 3 x 3:

Matriz 4 x 4 e maiores

É dada uma matriz 4 x 4:

Para obter o determinante:

1. Multiplique o elemento a, com sinal positivo, ao determinante da matriz que não contem a
linha em que está a nem a coluna em que está a;

2. Multiplique o elemento b, com sinal negativo, ao determinante da matriz que não contem a
linha em que está b nem a coluna em que está b;

3. Multiplique o elemento c, com sinal positivo, ao determinante da matriz que não contem a
linha em que está c nem a coluna em que está c;

4. Multiplique o elemento d, com sinal negativo, ao determinante da matriz que não contem a
linha em que está d nem a coluna em que está d.

Difícil? Use uma calculadora de matrizes (matrix
calculator). Mas saiba que esta é a maneira mais fácil de entender como
calcular o determinante de uma matriz. É a expansão
de Laplace.

Mas veja aqui a definição de determinante:

É o somatório dos n! produtos obtidos
da diagonal principal deixando fixos os primeiros índices e considerando todas
as permutações possíveis dos segundos índices precedidos de sinais positivos ou
negativos conforme seja par ou ímpar o número de permutações, o que equivale a
multiplicar cada produto por (-1)^p onde p é
a classe de permutações dos segundos índices. Logo:

Exemplo 6