Conjuntos

Vamos lembrar um pouco da teoria dos conjuntos, para continuar estudando
probabilidades. Conjuntos são
coleções de itens. Você pode pensar no conjunto de pessoas que vai convidar
para sua festa de aniversário, no conjunto de feriados no semestre, no conjunto
de árvores de uma praça, no conjunto de roupas que vai precisar para uma
viagem. Os itens contidos no conjunto são chamados de elementos. Para designar
os elementos de um conjunto, você os escreve em sequência entre chaves,
separando-os por vírgula. Então, seja I o conjunto de seus irmãos. Se eles se
chamam Mateus e Lavínia, o conjunto de seus irmãos é escrito como segue:

I = {Mateus, Lavínia}

Lembra-se do diagrama de Venn? É
o desenho em que os itens de um conjunto são representados dentro de um círculo.
No desenho há sempre dois ou mais círculos. Cada círculo representa um
conjunto. Para desenhar um diagrama de Venn, faça primeiro um retângulo que
representará o todo ou universo. Coloque dentro dele círculos representando os
conjuntos. Por exemplo, se você é torcedor do time de futebol que disputa um
campeonato, você tem dois conjuntos de jogadores: os do “seu” time e os do time
rival.

Dois conjuntos são
chamados de disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm
elementos em comum. É o caso do exemplo que acabamos de ver.

Há conjuntos que têm elementos em comum, isto é, um ou mais elementos
pertencem simultaneamente a dois ou mais conjuntos. Por exemplo, imagine o
conjunto D de animais domésticos e o conjunto F de felinos. O gato pertence aos
dois conjuntos. No diagrama de Venn, há
uma região que é a sobreposição dos círculos. Essa região é chamada intersecção e escrevemos D∩F, que se lê
D intersecção F.

Quando tanto interessam elementos de um conjunto como de outro, dizemos
estar interessados na união dos conjuntos. Por exemplo, se o diretor de uma
escola quer falar com uma pessoa que seja da comissão de formatura que é
formada por alunos (conjunto A) e professores (conjunto P), não importa se essa
pessoa é aluno ou professor, o diretor está interessado em um elemento de A
união P. A região, chamada união, é
indicada por AÈP,
que se lê A união F.

O conjunto de todos os elementos possíveis é chamado universo e geralmente indicado por U. No primeiro exemplo, o
universo poderia ser constituído por todos os jogadores de futebol, no segundo
exemplo, por todos os animais, no terceiro, por todo o corpo docente e discente
da escola. Conjunto vazio é aquele que não tem elemento. Por exemplo, o
conjunto de universitários analfabetos é vazio. Indicamos pela letra grega f, que se lê fi. Podemos usar esse
conhecimento de conjunto para resolver problemas ¹.

Exemplo ²: Em um canil estão 24 cães: 12 são pretos, seis têm
cauda curta e 15 têm pelos longos. Apenas um cão é preto, tem cauda curta e
pelos longos. Dois cães são pretos e têm cauda curta, mas não têm pelos longos.
Outros dois cães têm cauda curta e pelos longos, mas não são pretos. Se todos
os cães do canil têm pelo menos uma das características citadas, quantos cães
são pretos, com pelos longos, mas não têm cauda curta?

·
Os números de cães em cada categoria estão
escritos fora dos círculos, com realce amarelo.

·
Escreva nas interseções o número de cães em cada
uma. Eles estão em vermelho. A incógnita é o número de cães na interseção.

·
Faça as contas indicadas em letras azuis usando
os dados que estão fora dos círculos com realce amarelo, para determinar
quantos cães estão em cada um dos conjuntos: pretos, cauda curta, pelos
longos.

·
Agora é possível resolver o problema: some os
números de cães em cada um dos conjuntos. Essa soma é igual a 24, número de
cães no canil. Então:

9-x+2+1+x+1+2+12-x =24

27-
x=24

x=3

Referências

1.
Working with Sets and Venn Diagrams. http://www.regentsprep.org/regents/math/algebra/ap2/lvenn.htm