Para
bem entender o teorema da multiplicação de probabilidades, ajuda pensar o teorema dividido em duas regras: a regra nº 1, para a multiplicação de eventos independentes e a regra nº 2, para a multiplicação de eventos dependentes. Vamos
começar pela “regra número 1”.
bem entender o teorema da multiplicação de probabilidades, ajuda pensar o teorema dividido em duas regras: a regra nº 1, para a multiplicação de eventos independentes e a regra nº 2, para a multiplicação de eventos dependentes. Vamos
começar pela “regra número 1”.
Eventos
independentes
independentes
Dois eventos, A e B, são independentes se a ocorrência de um
deles (A ou B) não tem efeito sobre a ocorrência do outro (B ou A).
deles (A ou B) não tem efeito sobre a ocorrência do outro (B ou A).
Exemplo
Quando se lançam dois dados, o resultado em um dos dados não tem
qualquer efeito sobre o resultado que ocorre no outro dado. Dizemos então que os eventos são independentes.
qualquer efeito sobre o resultado que ocorre no outro dado. Dizemos então que os eventos são independentes.
Na vida real encontramos muitos exemplos de
eventos independentes. Por exemplo, “chover hoje” e “ser feriado amanhã” são
eventos independentes porque o fato de “chover hoje” não muda a possibilidade
de “ser feriado amanhã”, nem o fato de “ser feriado amanhã” muda a
possibilidade de “chover hoje”. Na área de saúde, existem vários exemplos de eventos
independentes: o fato de uma pessoa ser míope não afeta a probabilidade de ter
cárie dentária; a profissão não afeta a probabilidade de uma pessoa ter
cálculos renais; o estado civil do cidadão não modifica a probabilidade de ser
calvo.
eventos independentes. Por exemplo, “chover hoje” e “ser feriado amanhã” são
eventos independentes porque o fato de “chover hoje” não muda a possibilidade
de “ser feriado amanhã”, nem o fato de “ser feriado amanhã” muda a
possibilidade de “chover hoje”. Na área de saúde, existem vários exemplos de eventos
independentes: o fato de uma pessoa ser míope não afeta a probabilidade de ter
cárie dentária; a profissão não afeta a probabilidade de uma pessoa ter
cálculos renais; o estado civil do cidadão não modifica a probabilidade de ser
calvo.
Regra
1 da multiplicação (para eventos independentes)
1 da multiplicação (para eventos independentes)
Se A
e B são eventos independentes, a probabilidade de ocorrer A e B
é dada pela probabilidade de ocorrer A,
multiplicada pela probabilidade de ocorrer B.
Escreve-se:
e B são eventos independentes, a probabilidade de ocorrer A e B
é dada pela probabilidade de ocorrer A,
multiplicada pela probabilidade de ocorrer B.
Escreve-se:
Exemplo
Você
lança dois dados ao mesmo tempo: um é vermelho e o outro é amarelo. Qual é a
probabilidade de ocorrer a face 3 no dado amarelo e a face 5 no dado vermelho?
Usando a regra 1 da multiplicação, você calcula a probabilidade de ocorrer face 3 no
dado amarelo e face 5 no dado vermelho. Depois, multiplica essas
probabilidades.
lança dois dados ao mesmo tempo: um é vermelho e o outro é amarelo. Qual é a
probabilidade de ocorrer a face 3 no dado amarelo e a face 5 no dado vermelho?
Usando a regra 1 da multiplicação, você calcula a probabilidade de ocorrer face 3 no
dado amarelo e face 5 no dado vermelho. Depois, multiplica essas
probabilidades.
Eventos
dependentes
dependentes
Se a ocorrência do evento A modifica a
probabilidade de ocorrência do evento B, dizemos que esses dois eventos, A e B,
são dependentes.
probabilidade de ocorrência do evento B, dizemos que esses dois eventos, A e B,
são dependentes.
Exemplo
Há seis meias em uma gaveta: três vermelhas
e três azuis. Você quer um par de meias vermelhas. Sem olhar, você retira
uma meia da gaveta. É vermelha. Sem recolocar essa meia de volta na gaveta, você retira
uma segunda meia. Nesta segunda retirada, a probabilidade de a segunda meia ser
vermelha é menor. Por quê?
Na 1ª retirada você tinha três meias vermelhas em seis, ou seja, metade das meias era vermelha. Na 2ª retirada você tinha duas meias vermelhas em cinco, ou seja, menos da metade das meias eram vermelhas. A probabilidade de sair meia vermelha na primeira retirada modifica a probabilidade de sair meia vermelha na segunda retirada. Dizemos então que esses eventos são dependentes.
e três azuis. Você quer um par de meias vermelhas. Sem olhar, você retira
uma meia da gaveta. É vermelha. Sem recolocar essa meia de volta na gaveta, você retira
uma segunda meia. Nesta segunda retirada, a probabilidade de a segunda meia ser
vermelha é menor. Por quê?
Na 1ª retirada você tinha três meias vermelhas em seis, ou seja, metade das meias era vermelha. Na 2ª retirada você tinha duas meias vermelhas em cinco, ou seja, menos da metade das meias eram vermelhas. A probabilidade de sair meia vermelha na primeira retirada modifica a probabilidade de sair meia vermelha na segunda retirada. Dizemos então que esses eventos são dependentes.
Na vida real é comum nos depararmos com
exemplos de eventos dependentes, ou seja, de eventos que modificam a probabilidade de outros eventos acontecerem.
Por exemplo, o hábito de fumar aumenta a probabilidade de a pessoa ter câncer
de pulmão; o motorista alcoolizado tem maior probabilidade de provocar acidente
de trânsito; a criança imunizada para determinada doença tem menor
probabilidade de ter essa doença.
exemplos de eventos dependentes, ou seja, de eventos que modificam a probabilidade de outros eventos acontecerem.
Por exemplo, o hábito de fumar aumenta a probabilidade de a pessoa ter câncer
de pulmão; o motorista alcoolizado tem maior probabilidade de provocar acidente
de trânsito; a criança imunizada para determinada doença tem menor
probabilidade de ter essa doença.
Probabilidade
condicional
condicional
Probabilidade
condicional de B
dado A é a probabilidade de ocorrer o
evento B sob a condição de o evento A
ter ocorrido. Indica-se por P(B|A), que se lê “probabilidade de B dado A”.
condicional de B
dado A é a probabilidade de ocorrer o
evento B sob a condição de o evento A
ter ocorrido. Indica-se por P(B|A), que se lê “probabilidade de B dado A”.
Exemplo
Há
seis meias na gaveta: três vermelhas e três azuis. Você quer um par de meias vermelhas. Sem olhar, retira uma meia da gaveta e, sem recolocar essa meia
na gaveta, retira outra. Qual é a probabilidade de ambas serem vermelhas?
seis meias na gaveta: três vermelhas e três azuis. Você quer um par de meias vermelhas. Sem olhar, retira uma meia da gaveta e, sem recolocar essa meia
na gaveta, retira outra. Qual é a probabilidade de ambas serem vermelhas?
Você tem aí uma probabilidade condicional: probabilidade de sair uma segunda meia vermelha dado que a primeira era vermelha. Em outras palavras, foi calculada a probabilidade de sair uma segunda meia vermelha sob a condição de a primeira meia retirada ser vermelha.
Toda vez que calcularmos a probabilidade
condicional de B
dado A, devemos lembrar que o espaço
amostral fica reduzido – a condição de o evento A ter ocorrido diminui o espaço amostral para a ocorrência do evento B .
Exemplo
Um
dado foi lançado. 1) Qual é a probabilidade de ocorrer número 5? 2) Qual
é a probabilidade de ocorrer número 5, sabendo que saiu um número ímpar?
Para
responder a primeira questão, você tem seis eventos no espaço amostral e apenas um deles é de interesse. Para
responder a segunda questão, você tem três eventos no espaço amostral e, também, apenas um deles é de interesse. Então
dado foi lançado. 1) Qual é a probabilidade de ocorrer número 5? 2) Qual
é a probabilidade de ocorrer número 5, sabendo que saiu um número ímpar?
Para
responder a primeira questão, você tem seis eventos no espaço amostral e apenas um deles é de interesse. Para
responder a segunda questão, você tem três eventos no espaço amostral e, também, apenas um deles é de interesse. Então
Regra
2 da multiplicação (para eventos dependentes)
Se
A e B são eventos dependentes,
a probabilidade de ocorrer A e B é dada pela probabilidade de ocorrer A multiplicada pela probabilidade de
ocorrer B dado que A ocorreu (esta probabilidade é
condicional). Escreve-se:
A e B são eventos dependentes,
a probabilidade de ocorrer A e B é dada pela probabilidade de ocorrer A multiplicada pela probabilidade de
ocorrer B dado que A ocorreu (esta probabilidade é
condicional). Escreve-se:
Exemplo
Cinco bolas que se distinguem apenas pela cor são colocadas dentro de um chapéu e perfeitamente misturadas. Três dessas bolas são azuis e duas são vermelhas. Retiram-se duas bolas ao acaso do chapéu, sem olhar, uma em seguida da outra e sem que a
primeira tenha sido recolocada. Qual é a probabilidade de que as duas sejam vermelhas?
O chapéu contém cinco bolas: duas são vermelhas. Então a probabilidade de a primeira
bola retirada ser vermelha é
bola retirada ser vermelha é
Como
a bola retirada não foi recolocada, restam quatro bolas no chapéu. Se a primeira bola retirada era vermelha, das quatro bolas que ficaram no chapéu apenas uma é vermelha. A probabilidade
(condicional) de a segunda bola retirada ser vermelha é:
A
probabilidade de as duas bolas retiradas serem vermelhas é dada pelo produto:
de independência
Dois
eventos são independentes se a probabilidade de que ocorram juntos é igual ao
produto das probabilidades de que ocorram em separado, uma vez que a ocorrência
de um deles em nada ajuda a ocorrência do outro.
eventos são independentes se a probabilidade de que ocorram juntos é igual ao
produto das probabilidades de que ocorram em separado, uma vez que a ocorrência
de um deles em nada ajuda a ocorrência do outro.
Exemplo
A
questão da independência é bem
ilustrada pelo jogo de uma moeda duas
vezes: o resultado do primeiro lançamento não influi no resultado do segundo
lançamento. Os dois eventos são independentes.
questão da independência é bem
ilustrada pelo jogo de uma moeda duas
vezes: o resultado do primeiro lançamento não influi no resultado do segundo
lançamento. Os dois eventos são independentes.
Veja probabilidade em:
Vieira, S. Introdução à
Bioestatística. Rio de Janeiro. Elsevier.
Vieira, S. Estatística para a Qualidade. Rio de Janeiro. Elsevier.
Bioestatística. Rio de Janeiro. Elsevier.
Vieira, S. Estatística para a Qualidade. Rio de Janeiro. Elsevier.
Estou estudando a alguns dias para.concurso com um professor excelente mas a única.dúvida ainda era multiplicação de probabilidade e você esclareceu de uma.forma muito didática! Parabéns! Deus te abençoe!
Eu jogo dados e nem por isso eu calculo a probabilidade deles. Eu apenas jogo.
Excelente post sobre o assunto. Didático e direto ao assunto. Obrigada por disponibilizá-lo.
Muito obrigado ^^
excelente posto!!!
parabéns
Muito bem explicado !!