O pesquisador busca testes pos-hoc para
comparar médias de grupos quando já obteve resultado significante na ANOVA
(análise de variância) e seu ensaio tem três ou mais grupos.
comparar médias de grupos quando já obteve resultado significante na ANOVA
(análise de variância) e seu ensaio tem três ou mais grupos.
Diversos
são os testes que estão à disposição do pesquisador, alguns dos quais já
discutimos em postagens anteriores. Vamos tratar aqui o método de Tukey-Kramer,
que foi desenvolvido para os casos em que os grupos em comparação têm tamanhos
diferentes. Nesses casos, faz-se necessário ajustar o procedimento
à situação (substituir r por ri e rj).
são os testes que estão à disposição do pesquisador, alguns dos quais já
discutimos em postagens anteriores. Vamos tratar aqui o método de Tukey-Kramer,
que foi desenvolvido para os casos em que os grupos em comparação têm tamanhos
diferentes. Nesses casos, faz-se necessário ajustar o procedimento
à situação (substituir r por ri e rj).
O valor da diferença
mínima significante (dij) entre
as médias de dois grupos de tamanhos ri
e rj (dij), pelo teste de Tukey-Kramer, é dado por:
mínima significante (dij) entre
as médias de dois grupos de tamanhos ri
e rj (dij), pelo teste de Tukey-Kramer, é dado por:
Encontra-se o valor q(k,gl,a), denominado
amplitude estudentizada, na tabela de amplitude estudentizada q. Procure na tabela, no nível de significância a, o valor de q para k
grupos e os graus de liberdade do resíduo da análise de variância. QMR é o
quadrado médio do resíduo da análise de variância e ri e rj são os números de repetições de cada um dos grupos em comparação.
amplitude estudentizada, na tabela de amplitude estudentizada q. Procure na tabela, no nível de significância a, o valor de q para k
grupos e os graus de liberdade do resíduo da análise de variância. QMR é o
quadrado médio do resíduo da análise de variância e ri e rj são os números de repetições de cada um dos grupos em comparação.
EXEMPLO
A Tabela 1 apresenta os
dados de um ensaio com quatro grupos (marcas de chá). As médias dos grupos estão no rodapé da tabela. Vamos comparar essas médias aplicando o teste de Tukey-Kramer. É preciso, primeiro, fazer uma análise de variância (ANOVA). Essa análise está apresentada na Tabela 2.
dados de um ensaio com quatro grupos (marcas de chá). As médias dos grupos estão no rodapé da tabela. Vamos comparar essas médias aplicando o teste de Tukey-Kramer. É preciso, primeiro, fazer uma análise de variância (ANOVA). Essa análise está apresentada na Tabela 2.
As comparações de
médias de marcas estão logo abaixo das tabelas. Utilizou-se, para o
teste de Tukey-Kramer, o valor de q no nível de 5%, considerando k = 4 marcas e
n – k =24 – 4 = 20 graus de liberdade do resíduo.
médias de marcas estão logo abaixo das tabelas. Utilizou-se, para o
teste de Tukey-Kramer, o valor de q no nível de 5%, considerando k = 4 marcas e
n – k =24 – 4 = 20 graus de liberdade do resíduo.
Tabela 1 – Conteúdo
de ácido fólico (vitamina B) em folhas de
de ácido fólico (vitamina B) em folhas de
chá verde selecionadas ao acaso de quatro
marcas (1)
marcas (1)
Tabela 2 – Análise de variância dos dados da Tabela 1
Para comparar a média da
marca 1 com a média da marca 2, com a = 5%, é preciso calcular:
marca 1 com a média da marca 2, com a = 5%, é preciso calcular:
Para comparar a média da
marca 1 com a média da marca 3, com a = 5%, é preciso calcular:
marca 1 com a média da marca 3, com a = 5%, é preciso calcular:
Procedendo da mesma
maneira, são obtidos os valores de dij
para as demais comparações. A Tabela 3 apresenta, com as diferenças das médias
estimadas, os valores das dij.
Toda vez que o valor absoluto da diferença entre duas médias for maior do que a
respectiva dij, rejeita-se
a hipótese de igualdade de médias.
maneira, são obtidos os valores de dij
para as demais comparações. A Tabela 3 apresenta, com as diferenças das médias
estimadas, os valores das dij.
Toda vez que o valor absoluto da diferença entre duas médias for maior do que a
respectiva dij, rejeita-se
a hipótese de igualdade de médias.
Tabela 3 – Comparação de médias pelo teste de Tukey -Kramer
A
interpretação dos resultados apresentados na Tabela 3 é a de que, em média, o
conteúdo de ácido fólico no chá da marca 1 é maior do que o conteúdo de ácido
fólico no chá da marca 4.
interpretação dos resultados apresentados na Tabela 3 é a de que, em média, o
conteúdo de ácido fólico no chá da marca 1 é maior do que o conteúdo de ácido
fólico no chá da marca 4.
Obter
as diferenças mínimas significantes pelo teste de Tukey-Kramer é trabalhoso
porque cada comparação de médias exige um cálculo. Claro que os programas para
computadores fazem a análise estatística rapidamente, mas nem sempre foi assim.
Então, já se propôs, quando os tamanhos de grupos não são muito diferentes,
calcular a diferença mínima significante na forma tradicional, proposta por
Tukey, mas usar, em lugar de r (que seria o número de repetições em todos os
grupos) a média harmônica H dos
tamanhos de grupos. O nível de significância não fica, porém, exato. A fórmula
fica como segue:
as diferenças mínimas significantes pelo teste de Tukey-Kramer é trabalhoso
porque cada comparação de médias exige um cálculo. Claro que os programas para
computadores fazem a análise estatística rapidamente, mas nem sempre foi assim.
Então, já se propôs, quando os tamanhos de grupos não são muito diferentes,
calcular a diferença mínima significante na forma tradicional, proposta por
Tukey, mas usar, em lugar de r (que seria o número de repetições em todos os
grupos) a média harmônica H dos
tamanhos de grupos. O nível de significância não fica, porém, exato. A fórmula
fica como segue:
Vamos
ver este procedimento usando os mesmos dados da Tabela 1. Verifique que os
tamanhos dos grupos são 7, 5, 6, 6. Para calcular a média harmônica H, aplique a fórmula:
ver este procedimento usando os mesmos dados da Tabela 1. Verifique que os
tamanhos dos grupos são 7, 5, 6, 6. Para calcular a média harmônica H, aplique a fórmula:
Para o exemplo:
Então
É fácil verificar que,
neste exemplo, a interpretação do teste permanece.
neste exemplo, a interpretação do teste permanece.
*****************
Veja a Tabela de amplitude estudentizada
em
em
table of the studentized range –
David Lane
http://davidmlane.com/hyperstat/sr_table.html
David Lane
http://davidmlane.com/hyperstat/sr_table.html
Veja também
Multiple Comparisons With Unequal
Sample Sizes https://www.uvm.edu/~dhowell/gradstat/…/labs/…/Multcomp.html
ANOVA & Tukey-Kramer test. https://www.youtube.com/watch?v=ZU1PgVWTXKY
Sample Sizes https://www.uvm.edu/~dhowell/gradstat/…/labs/…/Multcomp.html
ANOVA & Tukey-Kramer test. https://www.youtube.com/watch?v=ZU1PgVWTXKY
