Matriz transposta
Para “transpor” uma matriz,
troque as linhas com as colunas. Indique a matriz transposta da matriz M por
M’.
troque as linhas com as colunas. Indique a matriz transposta da matriz M por
M’.
Exemplo
É dada a matriz
A transposta de M é
Teorema: O determinante de uma matriz quadrada é igual ao
determinante de sua transposta.
determinante de sua transposta.
Exemplo
É dada a matriz
O determinante de B conforme calculado em postagem
anterior é
anterior é
A transposta de B é
O determinante de B’ é
Rearranjando
os termos, você obtém o determinante de
B’, igual ao determinante de B.
os termos, você obtém o determinante de
B’, igual ao determinante de B.
Soma de matrizes
Para somar duas
matrizes, some os elementos que estão em posições correspondentes.
matrizes, some os elementos que estão em posições correspondentes.
Exemplo
São dadas duas matrizes, A e B. Veja como
se faz a soma delas.
se faz a soma delas.
Veja
os cálculos
os cálculos
Importante: só podem ser somadas
matrizes de mesmo tamanho. Não se pode somar uma matriz 3 x2 com uma matriz 2 x
3. Não.
Subtração
proceda à subtração dos elementos que ocupam posições correspondentes.
matrizes de mesmo tamanho. Não se pode somar uma matriz 3 x2 com uma matriz 2 x
3. Não.
Subtração
proceda à subtração dos elementos que ocupam posições correspondentes.
Exemplo
São dadas as mesmas duas matrizes, A e B.
Veja como se subtrai B de A.
Veja como se subtrai B de A.
Veja
os cálculos
os cálculos
Importante: na verdade, não se diz
subtração (de matrizes), mas sim soma de matriz negativa A+(-B).
subtração (de matrizes), mas sim soma de matriz negativa A+(-B).
Para o Guilherme, que quer provas:
Teorema: O determinante de uma matriz quadrada M não se altera se as
linhas forem ordenadamente trocadas com as colunas.
linhas forem ordenadamente trocadas com as colunas.
Dada a matriz
Por definição,
Os primeiros índices estão sempre na permutação fundamental. Isso significa
que, para os primeiros índices, o número de inversões é sempre zero e a permutação
é sempre de classe par. Consequentemente, p indica o número de permutações dos
primeiros e dos segundos índices, porque 0 + p = p.
que, para os primeiros índices, o número de inversões é sempre zero e a permutação
é sempre de classe par. Consequentemente, p indica o número de permutações dos
primeiros e dos segundos índices, porque 0 + p = p.
A soma do número de inversões das permutações não muda se,
numa parcela qualquer do somatório, dois elementos trocarem de lugar. Isto
porque, nesse caso, mudam tanto o número de inversões das permutações dos
primeiros índices como o dos segundos índices. O número de inversões não muda
de paridade e a classe permanece sendo a mesma.
numa parcela qualquer do somatório, dois elementos trocarem de lugar. Isto
porque, nesse caso, mudam tanto o número de inversões das permutações dos
primeiros índices como o dos segundos índices. O número de inversões não muda
de paridade e a classe permanece sendo a mesma.
Em particular, a ordem dos fatores de cada parcela pode
ser trocada, de modo que os segundos índices fiquem na permutação fundamental,
que é classe par (zero). Então:
ser trocada, de modo que os segundos índices fiquem na permutação fundamental,
que é classe par (zero). Então:
Este resultado também é obtido trocando os dois índices
em cada elemento da matriz M.
em cada elemento da matriz M.
A matriz M’ é a transposta da matriz M. Então o teorema pode ser reescrito:
Teorema: O determinante de uma matriz quadrada é igual ao
determinante de sua transposta.
determinante de sua transposta.
