MÉDIA MÓVEL

Denomina-se série temporal ao conjunto de observações de uma variável ao
longo do tempo. São exemplos de série temporal: dados meteorológicos de uma
cidade coletados diariamente, vendas mensais de um produto em determinado
hipermercado ao longo de anos, gráficos de controle diários de um processo
produtivo em uma empresa no mês, dados demográficos de um país em vários
censos. 

A suposição básica no estudo das séries
temporais é a de que o tempo é um fator que modifica os valores da variável de
interesse. Para observar o efeito do tempo em uma série temporal, desenha-se um gráfico de linhas, também chamado gráfico de série temporal. Os dados observados referem-se à variável dependente,
variável resposta ou
desfecho e
o tempo é a variável independente, variável explanatória ou
fator. 

Veja os dados apresentados na
Tabela 1 e na Figura 1. No gráfico, os pontos consecutivos ligados por linhas ajudam a visualizar as mudanças da variável
no período em estudo. Assim, a Figura 1 mostra, nitidamente, o crescimento da população brasileira entre 1940 e 2010. Nesse período, a população mais do
que quadruplicou.

Tabela 1 – População residente no Brasil, segundo o ano do Censo Demográfico

Figura 1 – População residente
no Brasil, segundo o ano do Censo Demográfico

·      Tendência, que é o comportamento de longo prazo da série,
como é o caso de crescimento demográfico, mostrado na Figura 1.

·      Variação cíclica, ou seja, flutuação nos valores da variável que
ocorre com certa periodicidade, mas em períodos longos, acima de um ano; é o
caso das mudanças no estado
médio da atmosfera (como
as causadas por variações na atividade solar).

·      Variação sazonal, que é
a flutuação nos valores da variável com duração menor do que um ano, mas se
repetem geralmente em função das estações do ano.

·      Variação irregular,
causada por  fatos fortuitos e inesperados como, por exemplo, catástrofes
naturais.

Os
componentes citados não estão sempre presentes em uma série temporal. Veja
alguns exemplos.

·        
A série da Figura 1 apresenta apenas tendência,
isto é, comportamento crescente no longo prazo (sete décadas).

·        
A série da Figura 2 apresenta apenas variações
irregulares, mas de processo sob controle, isto é, pontos dentro dos limites de
controle (LSC e LIC.).

Figura
2 – Gráfico de controle típico

Fonte:
Vieira, S. Estatística para a Qualidade. 3
ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 20114

·        
A série da Figura 3 apresenta tendência, variação
sazonal e variações irregulares: o comportamento de longo prazo da série é pouco
crescente, há variação sazonal (meses chuvosos e meses de seca), mas há
flutuações irregulares dentro dos períodos de um ano, em todos os anos.

Figura 3
– Alturas pluviométricas anuais, em mm

Fonte: Gasparetto, S. C. Comparação entre métodos de imputação de dados em
diferentes intensidades amostrais na série homogênea de precipitação pluvial da
ESALQ. https://teses.usp.br/teses/disponiveis/11/11134/tde-23082019-150302/publico/

·        
A série da Figura 4 apresenta flutuações
sazonais e variações irregulares; pequena tendência de queda.

Figura 4
– Preços, em reais, da saca de 60kg de milho no
Estado de São Paulo, 2012-2014

Fonte: Souza, C.C
et alii. Análise do padrão sazonal e da
variação dos preços do milho aos produtores do estado de São Paulo, Brasil. Rev. de
Ciências Agrárias vol.40 no.2  Lisboa jun. 2017. http://dx.doi.org/10.19084/RCA16110 

A análise de séries temporais deve
identificar padrões de variação da variável de interesse. A observação do
comportamento passado ajuda previsões para o futuro, facilitando a tomada de
decisões. Uma das maneiras de estudar a tendência de uma série temporal é por
meio de médias móveis, que reduzem
o impacto de picos e quedas acentuados. Elas servem para “suavizar”
dados cronológicos ou, em outras palavras, promovem o “alisamento” para que a
curva de tendência fique mais visível.

Médias móveis

Vamos ver aqui como se calculam médias móveis.
Imagine uma
série temporal como, por exemplo, o número de óbitos por dia devido à COVID-19.
Sejam y_t os
valores da variável. A média móvel simples de k termos é obtida somando k termos
consecutivos da série e dividindo o resultado por k. Então, dada a série de valores y_t  em
que t = 1, 2, …, n, as médias móveis dessa série são
dados por:

No exemplo acima, os dados aumentam
gradualmente de 11 para 17 em um total de sete dias. As médias móveis simples aumentam de
13 para 15. 

As médias móveis
simples serão indicadas por MMi.  Para indicar que calculamos uma média
móvel de ordem k, escrevemos k-MM.

Veja outro exemplo. Com os dados da série temporal apresentada em
seguida, calcule as médias móveis simples de três termos. Faça o gráfico.

25,
85, 65, 45, 95, 75, 15, 35

Cálculo de 3-MM

MM₃ = (25+85+65)/3 = 58,33

MM₄ = (85+65+45)/3 = 65,00

MM₅ = (65+45+95)/3 = 68,33

MM₆ = (45+95+75)/3 = 71,67

MM₇ = (95+75+15)/3 = 61,67

MM₈ = (75 +15+35)/3 = 41,67

 Gráfico 3-MM