MATRIZES E DETERMINANTES

        Matrizes e
determinantes são fundamentais na álgebra linear. Nesta postagem, vamos ver
matrizes quadradas e seus determinantes.

2.1.      
Definição de matriz:

         Matriz é um conjunto retangular de
números ou elementos distribuídos em m
linhas e n colunas, em que m e n
são números inteiros positivos. Dizemos que é uma matriz m x n (lê-se m por n), ou de ordem m x n. O arranjo deve ser delimitado por
colchetes ou parêntesis.

Cada a_ij
é um elemento da matriz. Nessa
matriz, i =1, 2,…, n e j
= 1, 2,…, m. O
primeiro índice de cada elemento indica a linha e o segundo índice indica a
coluna. Apenas como exemplo, o elemento a₃₂
está na terceira linha e na segunda coluna. As matries
são indicadas por letras maiúsculas em negrito.

2.2. Tipos
de matrizes

   2.2.1. Matriz coluna

Matriz coluna ou vetor coluna: é a
matriz com uma única coluna, ou seja, é uma matriz de ordem m x 1.

Exemplo

Veja uma matriz coluna 3 x 1:

              2.2.2. Matriz linha

Matriz linha ou vetor linha: é a
matriz com uma única linha, ou seja, é uma matriz de ordem 1 x n.

          Exemplo

Veja uma matriz linha 1 x 6:

   2.2.3. Matriz nula

Matriz nula ou vetor nulo: é a
matriz na qual todos os elementos são iguais a zero. É indicada por zero, em
negrito.

         Exemplo

Veja três matrizes nulas:

2.2.4. Matriz
transposta

Matriz transposta:
é a matriz n
x m obtida pela troca das linhas com as
colunas, ou seja, a i-ésima linha de
uma dada matriz A torna-se, na sua
transposta, a i-ésima coluna.
Indica-se a matriz transposta por A^T
ou A’.

Exemplo

É dada a matriz

A
transposta de M é 

Portanto, você tem uma matriz transposta se, e
somente se, o elemento da i-ésima
linha e j-ésima coluna de M^T é igual ao elemento da j-ésima linha, i-ésima coluna de M, ou
seja,

Se M é
uma matriz m × n, então M^T é
uma matriz n × m. Veja o exemplo: M é
uma matriz 2 × 3; M^T é
uma matriz 3 × 2.

2.2.5. Matriz quadrada

Matriz quadrada é a matriz constituída
por n linhas e n colunas, cada uma com n
elementos. Então uma matriz quadrada tem n²
elementos. 

Diagonal
principal de uma matriz quadrada é a diagonal formada pelos
elementos que têm os dois índices iguais como a₁₁, a₂₂,…,
a_nn.

         Diagonal secundária
de uma matriz quadrada é a diagonal formada pelos elementos a_1n, a_2(n-1),…,
a_n1, em que os
dois índices têm sempre soma igual a n+1.

 

         Elementos simétricos são todos os
elementos do tipo a_rs e a_rs.

2.2.6. Matriz identidade

Matriz
identidade é a matriz quadrada em que todos os elementos da
diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são todos iguais a
zero. A matriz identidade pode ter dimensões 2 × 2, ou 3 × 3, ou 4 × 4, etc ..
É indicada pela letra maiúscula I.

       Exemplo

      Veja
uma matriz identidade 3 x 3:

A
matriz identidade “equivale” ao número 1. Então você não vai se surpreender,
quando estudar operação com matrizes, que se pós-multiplicar uma dada matriz M por uma matriz identidade, obterá M como produto. Se pré-multiplicar a
matriz identidade por uma matriz M,
também obterá M como produto.

2.2.7. Matriz diagonal

 

Matriz diagonal é a matriz quadrada com
elementos diferentes de zero apenas na diagonal principal. Todos os demais
elementos são iguais

a zero.

         Exemplos

2.1.8. Matriz simétrica

Matriz simétrica é uma matriz
quadrada A, de ordem n x n
cuja transposta é igual a ela mesma. Então, A é uma matriz simétrica se A^T
= A.

        Exemplos de
matriz simétrica

     Note bem:

·     
Nem toda matriz quadrada é simétrica.

·      Se A é uma matriz simétrica, então sua transposta também será
simétrica.

 

2.1.9. Matriz oposta

 

        Matriz oposta de A é a matriz que se obtem de A trocando todos os sinias. Indica-se a
oposta de A por –A.

 

Exemplo

É dada a matriz

A oposta de A é

Veja que A =-A. Então você não se surpreenderá, ao aprender operar
matrizes, que

Note que o
zero está em negrito porque é uma matriz.

2.1.          
Determinante

Determinante
de uma matriz é um número calculado a partir de uma
matriz quadrada. Mas vamos entender o que é determinante a partir de casos
particulares e, depois, veremos a definição.

2.1.1.     Determinante de matriz 2
x 2

É
dada uma matriz A, que se indica
entre linhas em negrito. É uma matriz 2 x 2, isto é, uma matriz com duas linhas
e duas colunas: 

Só
para lembrar, visualize o produto cruzado:

Exemplo

O determinante é

2.1.2.     Determinante de matriz 3
x 3

É
dada uma matriz 3 x 3, isto é, uma matriz com três linhas e três colunas.

 Para obter o determinante dessa matriz, veja o esquema:

Então, você calcula:

         A regra, para obter o determinante de uma matriz 3 x 3, é:

1. Multiplique a
pelo determinante da matriz 2 × 2 que não está na linha nem na coluna em que
está a.

2. Proceda da mesma forma, para b e para c, elementos da
primeira linha.

3. Note que a alternância
dos sinais: + para a, – para b,+ para c.

Exemplo

   É dada a matriz 3 x 3: 

    O determinante é:

2.2.3.     Determinante de matriz 4
x 4

          
É dada uma matriz M 4
x 4:

  A
regra, para obter o determinante de uma matriz 3 x 3, é:

 

1. Multiplique o
elemento a, com sinal positivo, ao
determinante da matriz que não contem a linha em que está a nem a coluna em que está a;

2. Multiplique o
elemento b, com sinal negativo, ao
determinante da matriz que não contem a linha em que está b nem a coluna em que está b;

3. Multiplique o
elemento c, com sinal positivo, ao
determinante da matriz que não contem a linha em que está c nem a coluna em que está c;

4. Multiplique o
elemento d, com sinal negativo, ao
determinante da matriz que não contem a linha em que está d nem a coluna em que está d.

Uma matriz 4 x 4
tem determinante: 

Difícil? Use uma calculadora de matrizes
(matrix calculator). Mas saiba que esta é a maneira mais fácil de calcular o
determinante de uma matriz. É a expansão de Laplace.

 

2.2.4. Definição formal de determinante

Determinante é o somatório dos n! produtos obtidos da diagonal
principal, deixando fixos os primeiros índices e considerando todas as
permutações possíveis dos segundos índices, precedidos de sinais positivos ou
negativos conforme seja par ou ímpar o número de permutações. Isto equivale a
multiplicar cada produto por (-1)^p
onde p é a classe de permutações dos
segundos índices. Logo:

Exemplo

 

Exemplo

 

  É dada a matriz 3 x 3:

Aplicando
a definição de determinante:

Teorema: Cada termo do
desenvolvimento de um determinante contém um e um só elemento de cada fila.

 

Por
definição:

 

Os
primeiros índices são fixos, obtidos da diagonal principal. Portanto, em cada
termo do desenvolvimento do determinante existe um e somente um elemento de
cada linha. Os segundos índices são permutações, sem repetição, de 1, 2, 3,…, n. Logo, cada termo do desenvolvimento
do determinante tem nos segundos índices um número de 1 a n, sem repetição. Consequentemente, em cada termo do
desenvolvimento do determinante aparece um e somente um elemento de cada linha.

 

Exemplo

 

 É dada a matriz 3 x 3:

Você viu que

Confira:
cada termo do desenvolvimento do determinante contem somente um elemento de
cada linha.